Hilbert Transform

힐버트 변환은 실제 값 신호로부터 해석 신호를 생성하는 데 사용되는 신호 처리의 기본 도구입니다. 이 변환은 신호를 복소 평면에 표현하는 방법을 제공하여 신호의 진폭과 위상 특성을 강조합니다. 해석 신호는 원본 신호와 그 힐버트 변환을 실수부와 허수부로 결합한 것으로, 즉시 진폭 및 위상 정보를 추출할 수 있게 합니다. 힐버트 변환은 모든 주파수 성분의 위상을 -90도 이동시켜, 신호를 빈도 도메인에서 이해하고 조작하는 데 중요한 역할을 합니다.

 

---

힐버트 변환 (Hilbert Transform)

힐버트 변환은 실수 함수의 위상 정보를 추출하는 데 사용되는 선형 변환입니다. 이는 주파수 영역에서 음의 주파수 성분을 제거하고 양의 주파수 성분을 90도 지연시키는 효과를 가집니다.

정의

실수 함수 f(t)의 힐버트 변환 H[f(t)]는 다음과 같이 정의됩니다.

H[f(t)] = \frac{1}{\pi} \cdot p.v. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(\tau)}{t - \tau} d\tau

여기서 p.v.는 코시 주요값 (Cauchy principal value)을 의미합니다.

특징

• 힐버트 변환은 선형 변환입니다. 즉, H[af(t)+bg(t)]=aH[f(t)]+bH[g(t)]입니다.
• 힐버트 변환은 역 변환이 존재합니다. 즉, H[H[f(t)]]=−f(t)입니다.
• 힐버트 변환은 주파수 영역에서 다음과 같이 표현됩니다.

H[F(\omega)] = \begin{cases}
j \cdot F(\omega), & \text{if } \omega > 0 \\
0, & \text{if } \omega = 0 \\
-j \cdot F(\omega), & \text{if } \omega < 0
\end{cases}

• 힐버트 변환은 실수 함수의 위상 정보를 추출하는 데 사용됩니다.
• 힐버트 변환은 분석 신호 (analytic signal)를 생성하는 데 사용됩니다. 분석 신호는 실수 함수와 허수 함수로 구성된 복소수 함수이며, 위상 정보와 세기 정보를 모두 포함합니다.

응용 분야

• 신호 처리:
  • 위상 정보 추출
  • 분석 신호 생성
  • 잡음 감소
  • 모드 분리
• 통신:
  • 진폭 변조 (AM)
  • 주파수 변조 (FM)
  • 위상 변조 (PM)
• 영상 처리:
  • 에지 검출
  • 특징 추출
  • 영상 복원
• 지구과학:
  • 지진파 분석
  • 잠수함 탐지
  • 석유 탐사

힐버트 변환 계산 방법

• 푸리에 변환:
  • 푸리에 변환을 사용하여 주파수 영역에서 음의 주파수 성분을 제거하고 양의 주파수 성분을 90도 지연시킬 수 있습니다.
• FIR 필터:
  • 힐버트 변환 필터는 FIR 필터를 사용하여 구현할 수 있습니다.
• IIR 필터:
  • 힐버트 변환 필터는 IIR 필터를 사용하여 구현할 수 있습니다.

힐버트 변환 관련 자료

• 위키백과 - 힐버트 변환: [[유효하지 않은 URL 삭제됨]]([유효하지 않은 URL 삭제됨])
• MathWorks - Hilbert Transform: https://kr.mathworks.com/help/signal/ug/hilbert-transform.html
• SciPy - Hilbert Transform: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.signal.hilbert.html

추가 정보

• 힐버트 변환은 다양한 분야에서 활용되는 중요한 변환입니다.
• 힐버트 변환은 주파수 영역에서 음의 주파수 성분을 제거하고 양의 주파수 성분을 90도 지연시키는 효과를 가집니다.
• 힐버트 변환은 실수 함수의 위상 정보를 추출하는 데 사용됩니다.
• 힐버트 변환은 분석 신호를 생성하는 데 사용됩니다.
• 힐버트 변환은 다양한 방법으로 계산할 수 있습니다.

맺음말

힐버트 변환은 다양한 분야에서 활용되는 중요한 알고리즘입니다.

 

---

 

힐버트 변환은 수학과 신호 처리에서 사용되는 특별한 특이적 적분입니다. 이 변환은 실수 변수의 함수인 **u(t)**를 다른 실수 변수의 함수인 **H(u)(t)**로 변환합니다. 힐버트 변환은 푸리에 변환과 관련하여 각 주파수 성분에 **±90°(π/2 라디안)**의 위상 변화를 부여합니다. 이 변환은 실수값 신호 **u(t)**의 해석적 표현의 구성 요소 중 하나로 중요합니다1.

힐버트 변환은 David Hilbert에 의해 처음 소개되었으며, 해석 함수의 Riemann–Hilbert 문제의 특수한 경우를 해결하기 위해 사용되었습니다1. 이 변환은 주로 신호 처리에서 활용되며, 실수값 신호의 해석적 표현에 포함됩니다.

힐버트 변환은 Cauchy 커널로 정의되는 함수 h(t) = 1/πt와 함수 **u(t)**의 합성으로 생각할 수 있습니다. 이 때, 1/t가 t = 0에서 적분 가능하지 않기 때문에, 적분은 Cauchy 주요값을 사용하여 정의됩니다. 힐버트 변환은 다음과 같이 표현됩니다:

[ H(u)(t) = \frac{1}{\pi} \text{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u(\tau)}{t - \tau} d\tau ]

여기서 **p.v.**는 주요값을 나타냅니다. 또한, 힐버트 변환은 두 번 연속으로 적용되면 다음과 같이 표현됩니다:

[ H(H(u))(t) = u(t) ]

힐버트 변환은 푸리에 변환과도 관련이 있습니다. 푸리에 변환을 통해 **u(t)**의 주파수 영역에서의 특성을 살펴볼 수 있습니다1.

이 변환은 상한 반평면에서 해석 함수의 실수부와 허수부 간의 관계를 설명합니다. 즉, 만약 **f(z)**가 **상한 반복소 평면 {z : Im {z} > 0}**에서 해석적이고, **u(t) = Re {f(t + 0i)}**라면, **Im {f(t + 0i)} = H(u)(t)**가 성립합니다(상수를 더한 형태로). 단, 이 힐버트 변환이 존재해야 합니다1.

힐버트 변환은 신호 처리에서 자주 사용되며, 일반적으로 **H(u)(t)**로 표기됩니다2. 그러나 수학에서는 이미 **u(t)**의 푸리에 변환을 나타내는 데 이 표기법이 널리 사용되고 있습니다. 때로는 힐버트 변환은 여기에서 정의된 것과 반대로 음수로 표기되기도 합니다3.